تک مدولی بودن چندجمله ای های استقلال گراف ها

یکی از راه های مطالعه ی گراف ها بررسی چندجمله ای هایی است که به آن ها نسبت داده می شوند. تاکنون چندجمله ای های گوناگونی به گراف ها نسبت داده شده اند و مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته اند. برای نمونه می توان به چندجمله ای های رنگی، چندجمله ای های غالب و چندجمله ای های استقلال اشاره کرد. یک مجموعه ی استقلال از گراف ‎$ g $‎، عبارت است از یک زیر مجموعه ی ‎$ s $‎ از مجموعه رئوس گراف $ g $‎، به طوری که هیچ دو رأسی در ‎$ s $‎ مجاور نباشند. اگر ‎$ g $‎ یک گراف ساده باشد و ‎$ i‎_{k}‎ $‎ تعداد مجموعه های استقلال ‎$ k $‎ رأسی از گراف ‎$ g $‎ باشد، آن گاه چندجمله ای استقلال ‎$ g $‎ برابر است با: ‎egin{align*} i(g,x) = 1 + sum olimits_{k = 1}^{alpha (g)} {mathop i olimits_k } x^k . end{align*}‎ یکی از مفاهیم مهمی که در بررسی چندجمله ای های وابسته به گراف ها به آن پرداخته می شود، مفهوم تک مدولی است. دنباله ی متناهی ‎$ c‎_{n},c‎_{n-1},...,c‎_{1},c‎_{0}‎‎‎‎ $‎‎ تک مدول‎ نامیده می شود، هرگاه اندیس ‎$ r $‎ وجود داشته باشد، به گونه ای که: vspace*{-1.25cm} ‎egin{center} .‎$ c‎_{0} ‎leq c‎_{1} ‎leq ... ‎leq c‎_{r-1} ‎leq‎ c‎_{r} ‎geq‎ c‎_{r+1} ‎geq ... ‎geq c‎_{n}‎‎‎ $‎ end{center}‎ اندیس ‎$ r $‎ مد این دنباله نامیده می شود. چندجمله ای ‎$ sumlimits_{i = 1}^n {c_i } x^i $‎ تک مدول نامیده می شود هرگاه دنباله ی ضرایب $ c‎_{n},c‎_{n-1},...,c‎_{1},c‎_{0}‎‎‎‎ $‎ تک مدول باشد. در این پایان نامه تک مدولی بودن چندجمله ای های استقلال گراف ها مورد مطالعه قرار می گیرد.